الأرقام هي مجموعة من الرموز التي يتم استخدامها من أجل التعبير عن رقم معين يقع بين 0 و 9، وهذه الأعداد تنتمي لما يعرف باسم " مجموعة الأعداد الحقيقية "، لذا يجب أن نعرف خصائص الاعداد الحقيقية ، والهدف من استخدامها هو وصف مقدار أو كمية الأشياء، وهي أساس كل العمليات الحسابية، وتستخدم في كل المجالات ذات الصلة، مثل الرياضيات، والإحصاء، والفيزياء، وغيرهم. خصائص الأعداد الحقيقية وجدولها الأعداد الحقيقية في الرياضيات عبارة عن مجموعة من الأعداد الغير متناهية، التي يمكن أن تتمثل على خط مستقيم يطلق عليه خط الأعداد، ويرمز للأعداد الحقيقية بالرمز " ح "، وخط الأعداد الذي يتم رسمه عبارة عن خط أفقي يضم جميع الأعداد السالبة والموجبة وحتى الصفر، كل نقطة عليه تعبر عن عدد حقيقي، وعلى طرفي الخط توجد إشارة ∞ أو مالانهاية، للتعبير أنه لا يوجد نهاية للأرقام علة الطرفين. ومن أهم خصائص الأعداد الحقيقية: إذا كانت أ، ب، ج أعداد ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية، فإننا نستنتج من هذا الخصائص التالية: 1- (أ + ب) يساوي عدد حقيقي. الاعداد الحقيقية هي. 2- (أ – ب) يساوي عدد حقيقي. مثال: (3 = 1 + 2)، وهذا يعني أن العدد 3 هو عدد حقيقي. أيضا فإن (1 = 1 – 2)، يعد عدد حقيقي كذلك.
لقد بدأ مفهوم المصفوفة و استخدم بداية لتقديم طريقة حل نظامية لكافة جمل المعادلات الخطية ، لكنها بعد ذلك اكتسبت تطبيقات واسعة جدا في كافة المجالات.
خاصية التمام للأعداد الحقيقية ح (The completen property of R) خاصية التمام أو ( The supremum) (أصغر حد علوي) خاصية ضرورية لـ ح وسنقول أن ح عبارة عن نظام حقل كامل. هذه الخاصية المميزة تسمح لنا بتعريف وتوضيح مختلف العمليات على النهايات. هناك عدة طرق مختلفة لوصف خاصية التمام، من خلال افتراض أن كل مجموعة غير خالية ومحدودة وجزئية من ح تمتلك حد علوي أصغر (Supremum). مفاهيم الحد العلوي والحد السفلي لمجموعة من الأعداد الحقيقية. تعريف أول [ عدل] لتكن س مجموعة غير خالية جزئية من ح. يُقال عن المجموعة س أنها محدودة من أعلى إذا وُجد عدد ع ∈ ح بحيث أن ش ≤ ع لكل ش ∈ س. خاصية التمام للأعداد الحقيقية - ويكيبيديا. وأي عدد ع على هذا النحو يسمى حد علوي لـ س. يُقال عن المجموعة س أنها محدودة من أسفل إذا وُجد عدد ف ∈ ح بحيث أن ف ≤ ش لكل ش ∈س. وأي عدد ف على هذا النحو يسمى حد سفلي لـ س. يُقال عن المجموعة أنها محدودة إذا كانت محدودة من أعلى ومحدودة من أسفل. يُقال عن المجموعة أنها غير محدودة إذا لم يكن لها حدود. مثال [ عدل] المجموعة S:={ x∈R: x<2} محدودة من أعلى; العدد 2 وأي عدد أكبر من 2 يعتبر حد علوي لـ S. هذه المجموعة ليس لها حد سفلي، لذلك هذه المجموعة ليست محدودة من أسفل.
إذا كان أصغر حد علوي وأكبر حد سفلي للمجموعة موجودين فإننا نرمز لهما بالآتي: Sup S & inf S نلاحظ أيضاً أنه إذا كان u' أي حد علوي اختياري للمجموعة الغير خالية S فإن u≥ S sup. وهذا لأن sup S هو الأصغر من الحدود العلوية للمجموعة S. أولاً: لابد من التأكيد على أنه حتى يكون للمجموعة الغير خالية S والجزئية من R أصغر حد علوي يجب أن تمتلك حد علوي. وبالتالي ليس كل مجموعة جزئية من R تمتلك أصغر حد علوي. بالمثل ليس كل مجموعة جزئية من R تمتلك أكبر حد سفلي. في الواقع هناك أربعة احتمالات للمجموعة الغير خالية S والجزئية من R, وهي: أن تمتلك أصغر حد علوي وأكبر حد سفلي. # أن تمتلك أصغر حد علوي ولا تمتلك أكبر حد سفلي. # أن تمتلك أكبر حد سفلي ولا تمتلك أصغر حد علوي. # أن لاتمتلك أصغر حد علوي ولا أكبر حد سفلي. نود أيضا أن نؤكد أنه من أجل إظهار أن u=supS بالنسبة للمجموعة الغير خالية S والجزئية من R نحتاج لإظهار أن كلا من فقرة (1) و (2) للتعريف2 متحققة. وسيكون من المفيد إعادة صياغة هذه العبارات. جبر/جبر خطي/المصفوفات - ويكي الكتب. التعريف لـ u=sups يؤكد أن u حد علوي لـ S بحيث أن u≤v لأي حد علوي v لـ S. من المفيد أن يكون لدينا طرق بديلة للتعبير عن فكرة أن u هو ( الأقل) من الحدود العلوية لـ S. إحدى الطرق هي ملاحظة أن أي عدد أقل من u ليس حدا علويا لـ S. وهذا يعني وجود عنصر sz في S بحيث أنz < sz, بالمثل إذا كان ε>0 فإن u-ε أصغر من u وبالتالي يفشل في أن يكون حدا علويا لـ S. العبارات التالية حول الحد العلوي u لمجموعة S متكافئة: # إذا كان v أي حد علوي فإن u < v. # إذا كان z < u فإن z ليس حدا علويا لـ S. # إذا كان z < u فإنه يوجد sz ∈ S بحيث أن z < sz.
مالك بن دينار مالك بن دينار هو أبو بو يحيى مالك بن دينار البصري، تابعيٌّ من التابعين، ولد مالك بن دينار في الفترة التي عاش فيها عبد الله بن عباس -رضي الله عنه- فالتقى به والتقى بأنس بن مالك خادم رسول الله الذي استقرَّ في البصرة، ويذكر المؤرخون أنَّ مالك كان زاهدًا في حياته، ورعًا تقيًا عفيفًا، اهتم بحديث رسول الله -صلَّى الله عليه وسلَّم- في حياته فحدَّث عنه سعيد بن جبير والحسن البصري أيضًا، وتذكر الروايات إنَّه توفّي سنة مئة وسبعة وعشرين وقيل: مئة وثلاثين للهجرة النبوية، وهذا المقال سيسلِّط الضوء على مدى صحة قصة مالك بن دينار وابنته التي ذكرها ابن الجوزي.
جعفر قال: سمعت مالك بن دينار يقول: إن البدن إذا سقم لا ينجع فيه طعام ولا شراب ولا نوم ولا راحة، وكذلك القلب إذا علق حب الدنيا لم ينجع فيه المواعظ. وسمعته يقول: بقدر ما تحزن للدنيا كذلك يخرج هم الآخرة من قلبك وبقدر ما تحزن للآخرة فكذلك يخرج هم الدنيا من قلبك. عن جعفر بن سليمان قال: جاء محمد بن واسع إلى مالك بن دينار فقال: يا أبا يحيى إن كنت من أهل الجنة فطوبى لك. فقال: ينبغي لنا إذا ذكرنا الجنة أن نخزى. عبد العزيز بن سلمان العابد قال: انطلقت أنا وعبد الواحد بن زيد إلى مالك بن دينار فوجدناه قد قام من مجلسه فدخل منزله وأغلق عليه باب الحجرة فجلسنا ننتظره ليخرج أو لنسمع له حركة فنستأذن عليه. فجعل يترنم بشيء لم نفهمه. ثم بكى حتى جعلنا نأوي له من شدة بكائه. ثم جعل يشهق وتنفس حتى غشي عليه. قال: فقال لي عبد الواحد: انطلق ليس لنا مع هذا اليوم عمل، هذا رجل مشغول بنفسه. الحارث بن سعيد قال: كنا عند مالك بن دينار وعندنا قارئ يقرأ: {إِذَا زُلْزِلَتِ الْأَرْضُ زِلْزَالَهَا} الزلزلة فجعل مالك ينتفض وأهل المجلس يبكون ويصرخون حتى انتهى إلى هذه الآية: {فَمَنْ يَعْمَلْ مِثْقَالَ ذَرَّةٍ خَيْراً يَرَهُ، وَمَنْ يَعْمَلْ مِثْقَالَ ذَرَّةٍ شَرّاً يَرَهُ} الزلزلة قال: فجعل مالك، والله، يبكي ويشهق حتى غشي عليه فحمل بين القوم صريعاً.
[ ص: 362] مالك بن دينار ( 4) علم العلماء الأبرار ، معدود في ثقات التابعين ، ومن أعيان كتبة المصاحف ، كان من ذلك بلغته. ولد في أيام ابن عباس ، وسمع من أنس بن مالك ، فمن بعده ، وحدث عنه ، وعن الأحنف بن قيس ، وسعيد بن جبير ، والحسن البصري ، ومحمد بن سيرين ، والقاسم بن محمد ، وعدة. حدث عنه سعيد بن أبي عروبة ، وعبد الله بن شوذب ، وهمام بن يحيى ، وأبان بن يزيد العطار ، وعبد السلام بن حرب ، والحارث بن وجيه ، وطائفة سواهم ، وليس هو من أساطين الرواية. وثقه النسائي وغيره ، واستشهد به البخاري ، وحديثه في درجة الحسن. قال علي بن المديني: له نحو من أربعين حديثا. قال جعفر بن سليمان: سمعت مالك بن دينار يقول: وددت أن رزقي في حصاة أمتصها لا ألتمس غيرها ، حتى أموت. وقال: مذ عرفت الناس لم أفرح بمدحهم ، ولم أكره ذمهم; لأن حامدهم مفرط ، وذامهم مفرط ، إذا تعلم العالم العلم للعمل كسره ، وإذا تعلمه لغير العمل ، زاده فخرا. الأصمعي عن أبيه ، قال: مر المهلب على مالك بن دينار متبخترا ، فقال: [ ص: 363] أما علمت أنها مشية يكرهها الله إلا بين الصفين ؟! فقال المهلب: أما تعرفني ؟ قال: بلى ، أولك نطفة مذرة ، وآخرك جيفة قذرة ، وأنت فيما بين ذلك تحمل العذرة.
فعزمت أن أسكر وعزمت أن أشرب الخمر وظللت طوال الليل أشرب وأشرب وأشرب فرأيتني تتقاذفني الأحلام.. حتى رأيت تلك الرؤيا رأيتني يوم القيامة وقد أظلمت الشمس.. وتحولت البحار إلى نار.. وزلزلت الأرض واجتمع الناس إلى يوم القيامة.. والناس أفواج.. وأفواج.. وأنا بين الناس وأسمع المنادي ينادي فلان ابن فلان.. هلم للعرض على الجبار يقول: فأرى فلان هذا وقد تحول وجهه إلى سواد شديد من شده الخوف حتى سمعت المنادي ينادي باسمي.. هلم للعرض على الجبار يقول: فاختفى البشر من حولي( هذا في الرؤية)وكأن لا أحد في أرض المحشر.. ثم رأيت ثعبانا عظيماً شديداً قويا يجري نحوي فاتحا فمه.
، قال: لا تستحي ، فقصصتها عليه فبكى طويلاً وقال: يا مالك هذه الرؤيا تُرى لي منذ أربعين سنة يراها كل سنة رجل زاهد مثلك إني من أهل النار ، قلت: بينك وبين الله ذنب عظيم ؟ قال: نعم ذنبي أعظم من السماوات والأرض والجبال قلت: حدثني أحذر الناس لا يعملون به كنت رجلاً أكثر شرب المسكر فشربت يوماً عند خدن لي حتى إذا ثملت وزال عقلي أتيت منزلي فدخلت فإذا والدتي تحصب تنوراً لنا قد إبيض جوفه فلما رأتني أتمايل بسُكري أقبلت تعظني تقول: هذا آخر يوم من شعبان وأول ليلة من رمضان يصبح الناس غداً صوامّا وتصبح أنت سكراناً أما تستحي من الله ؟ فرفعت يدي فلزكتها فقالت تعست!