على سبيل المثال ، 23 هو عدد أولي. لأنه لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عددين أصغر إنما يُكتب فقط على شكل 1×23. أما العدد 21 ليس عددًا أوليًا لأنه يمكن كتابته على أنه حاصل ضرب 7 في 3 (7 × 3 = 21). هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق الذي ينص على أن العدد الأولي هو العدد الذي يكون 1 ونفسه هما القواسم الوحيدة. بعض خصائص الأعداد الأولية يمكن الحصول على قوائم الأعداد الأولية الأقل من حد معين ، أو المدرجة بين حدين ، من خلال طرق حسابية مختلفة. ولكن لا يمكن أن تكون هناك قائمة شاملة ومحدودة للأعداد الأولية ، لأننا نعلم أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. لا يوجد أي صيغ بسيطة لإنتاج مثل هذه القوائم. من الاعداد غير الاولية – المنصة. الأعداد الأولية الأقل من 100 هي: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 و 73 و 79 و 83 و 89 و 97. لكن القائمة لا تنتهي لأنّ الأعداد الأوّلية هي أعداد لا نهائية كما ذكرنا سابقا". العددين 0 و 1 ليسا أعدادا" أولية؛ 0 لأنه يمكن كتابته كحاصل ضرب لكل الأعداد في صفر، 3×0 = 0، 4×0 = 0، …. أما 1 فهو يملك قاسم صحيح واحد فقط لا غير وهو 1 أي أنه قابل للقسمة على 1 فقط و هذا ما يخالف التعريف السابق ذكره بأن الأعداد الأولية تقبل القسمة على قاسمين اثنين.
إذن الإفتراض خاطئ وحسب البرهان بالخلف فإن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية. البرهان الثاني: ليكن $\displaystyle{\displaylines{n}}$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم. لدينا $\displaystyle{\displaylines{n \wedge n+1 = 1}}$ ومنه العدد $\displaystyle{\displaylines{n (n+1)}}$ يقبل على الاقل عددين اوليين مختلفين كقواسم. لدينا $\displaystyle{\displaylines{n (n+1) \wedge n (n+1)+1 = 1}}$ إذن العدد $\displaystyle{\displaylines{n (n+1) (n (n+1)+1)}}$ يقبل على الأقل 3 أعداد أولية مختلفة كقواسم. وهكذا... سوف نحصل على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. بين بأكثر من طريقة أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية - Lagrida. البرهان الثالث: نضع $\displaystyle{\displaylines{\forall n \in \mathbb{N} \quad u_n = F_n - 2}}$. بحيث $\displaystyle{\displaylines{F_n}}$ عدد فيرما: $\displaystyle{\displaylines{F_n = 2^{2^{n}} + 1}}$ ( راجع أعداد فيرما Nombres de Fermat) لدينا $\displaystyle{\displaylines{u_n = F_0 F_1... F_{n-1}}}$. لدينا $\displaystyle{\displaylines{u_n}}$ يقبل على الاقل $\displaystyle{\displaylines{n}}$ قاسم أولي مختلف, لان الاعداد $\displaystyle{\displaylines{F_i}}$ اولية في ما بينها.
تاريخيا"، على الرغم من أن الآثار الأولى لاكتشاف الأعداد الأولية تعود إلى أكثر من 20000 عام (ربما حتى قبل اختراع الأبجدية! ). فإن أول كتابات معتمدة عن الأعداد الأولية تعود إلى حوالي 3 قرون قبل الميلاد. نعلم أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. لكنهم لم يكشفوا بعد كل أسرارها. ما هي الأعداد الأولية • تعريف في الرياضيات ، العدد الأولي هو عدد طبيعي له قاسمان فقط لا غير، هما 1 والعدد نفسه. وعليه فأي عدد يملك قاسما" غير 1 ونفسه يكون عددا" غير أولي. كما يوجد تعريفات مكافئة مختلفة أخرى كالذي سيمرّ أدناه. على سبيل المثال، العدد الصحيح 7 هو عدد أولي لأن 1 و 7 هما العددان الصحيحان الوحيدان اللذان يشكلان قواسم 7 أي أن 7 يقبل القسمة على 1 و 7 (نفسه) فقط لا غير. أما العدد 6 مثلا" فقواسمه هي 1، 2، 3 و 6 إذا" يملك قواسم غير 1 و نفسه وبالتالي فهو عدد غير أولي. أي عدد زوجي هو مضاعف 2 أي يقبل القسمة على 2 وحيث أنه يملك قاسم غير 1 ونفسه فهو بالتأكيد عدد غير أولي. وبالتالي فإن جميع الأعداد الأولية فردية باستثناء الرقم 2 نفسه. • تعريف آخر كتعريف آخر العدد الأولي هو العدد الذي لا يمكن كتابته على شكل حاصل ضرب عددين طبيعيين أصغر.
تشويقات | الأعداد الأولية والأعداد غير الأولية - YouTube