ويكون مجموع الزوايا الخارجية الثلاثة أي واحدة لكل رأس وذلك لأي مثلث هي 360 درجة. مفهوم تطابق المثلثات: ولحدوث تطابق المثلثات يجب أن تتوافر أي من تلك الشرط التالية جيداً فيهم لكي يحدث ذلك التطابق وهذه الشروط هي كما يلي: يجب أن تتساوى أطوال أضلاع المثلث المتناظرة فيهما أي (ضلع, ضلع, ضلع). أو يحدث تساوي لزاويتان من المثلث الأول مع زاويتين في المثلث الثاني وتساوى طول الضلع المشترك بين الزاويتين مع نظيره في المثلث الثاني (زاوية، ضلع، زاوية). أو أن يحدث تساوي لقياس زاوية من مثلث قياس زاوية من مثلث آخر ويحدث تساوي في أطوال الضلعين اللذين يحتويان هذه الزاوية في مثلث مع أطوال الضلعين المناظرين في المثلث الثاني (ضلع، زاوية، ضلع). نسبة التشابه - تشابه المثلثات. وفي حالة تحقق أي شرط من تلك الشروط السابقة ينتج التطابق الآتي للمثلثات: تكون مساحتي المثلثين المتطابقين متساويتين. أو يكون محيطي المثلثين المتطابقين متساويين. أقرأ عن: بحث عن الزوايا والمستقيمات المتوازية doc مفهوم المثلثات المتشابهة: تكون المثلثات متشابهة أو في حالة تشابه إن كان لهما نفس الشكل تماماً. حيث تكون الزوايا المتقابلة لكل مثلث منهما متساوية. وأيضاً تكون أضلاع المثلثات أو المثلثين المتشابهين تكون متناسبة.
يكون المثلثين متشابهين في حالة أن هناك تشابه بين زاويتين من زوايا المثلثين.. وعلى سبيل المثال في حالة أن لدينا مثلث س ص ع، ومثلث أ ب ج، في حالة تساوي الزاوية ص مع الزاوية المقابلة لها في المثلث الأخر وهي الزاوية ب، وفي حالة أن الزاوية ع تتساوى مع الزاوية التي تقابلها في المثلث الآخر وهي الزاوية ج فإن في تلك الحالة تتحقق شروط التشابه ويكون المثلثين متشابهين. يتشابه المثلثين في حالة تشابه ضلعين وزاوية.. ففي حالة أن الضلعين المتقابلين في مثلث ما متشابهين وتتساوى الزوايا التي تقع بين الضلعين بهما يكون المثلث متشابه. على سبيل المثال في حالة أن لدينا مثلث س ص ع، ومثلث أ ب ج.. فإذا كان هناك تشابه بين الأضلاع أ ب، س ص= ب ج، ص ع.. كما أن هناك تشابه بين الزاوية س ص ع، وبين الزاوية أ ب ج في تلك الحالة تكون توافرت شروط التشابه ويكون المثلثين متشابهين. نتائج تشابه المثلثات ينتج عن تشابه المثلثات في حالة توافر حالات التشابه بعض النتائج وهي: تكون النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متقابلين فيهما. تكون النسبة بين محيطي المثلثين المتشابهين تساوي النسبة بين طولي أي ضلعين متقابلين فيهما.
المثلثان متشابهان لأنهما قائما الزاوية، وهي الزاوية المحصورة بين العمود والشارع، أما الزاوية المحصورة بين الضلعين الثاني والثالث فهي متساوية في كليهما بما أن الظل تم قياسه في نفس الوقت من النهار، وبالتالي النسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (9/6)=1. 5. حساب ارتفاع العامود الثاني بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (36/ارتفاع العمود الثاني)= 1. 5، ومنه ارتفاع المثلث الثاني=24 قدم. المثال الثامن: مثلثان متشابهان طول ضلعين من أضلاع المثلث الأول هي: 1. 8، 8 سم، وطول ضلعين من أطوال أضلاع المثلث الثاني هي: س، 3 سم، ما هو طول الضلع س؟ الحل: بما أن المثلثين متشابهان فالنسبة بين أطوال أضلاعهما متساوية: (8/3)=2. 67. حساب طول الضلع (س) بالتعويض في النسبة بين أطوال الأضلاع: (1. 8/س)=2. 67، ومنه س=4. 8 سم. لمزيد من المعلومات عن قوانين المثلثات يُمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات. لمزيد من المعلومات عن زوايا المثلث يُمكنك قراءة المقال الآتي: حساب زوايا المثلث. بعض النظريات المتعلقة بتشابه المثلثات من النظريات المتعلّقة بتشابه المثلثات ما يأتي: إذا وازى مستقيم أحد أضلاع مثلث و قطع ضلعيه الآخرين فإنه يقسم هذين الضلعين إلى أجزاء متناسبة، ويكون المثلث الناتج مشابهاً للمثلث الأصلي.